Il carico limite delle fondazioni

Carico limite fondazioni: Il carico limite di una fondazione superficiale può essere definito con riferimento a quel valore  massimo del carico per il quale in nessun punto del sottosuolo si raggiunge la condizione di rottura (metodo di Frolich), oppure con riferimento a quel valore del carico, maggiore del precedente, per il quale il fenomeno di rottura si è esteso ad un ampio volume del suolo (metodo di Prandtl e successivi).

Prandtl ha studiato il problema della rottura di un semispazio elastico per effetto di un carico applicato sulla sua superficie  con riferimento all’acciaio, caratterizzando la resistenza a rottura con una legge del tipo:

τ=c+σ·tanφ  valida anche per i terreni

Le ipotesi e le condizioni introdotte da Prandl sono le seguenti:

  • Materiale privo di peso, γ=0;
  • comportamento rigido-plastico;
  • resistenza a rottura del materiale esprimibile con la relazione τ=c+σ·tanφ;
  • carico uniforme, verticale ed applicato su una striscia di carico di lunghezza infinita e di larghezza 2b (stato di deformazione piana);
  • tensioni tangenziali nulle al contatto fra striscia di carico e la superficie limite del semispazio.

All’atto della rottura si verifica la plasticizzazione del materiale racchiuso fra la superficie limite del semispazio e la superficie GFBCD. Nel triangolo AEBla rottura avviene secondo due famiglie di segmenti rettilinei ed inclinati di 45°+φ/2 rispetto all’orizzontale.Nelle zone ABF e EBCla rottura si produce lungo due famiglie di linee, l’una costituita da segmenti rettilinei passanti rispettivamente per i punti A ed E  e l’altra da archi di de famiglie di spirali logaritmiche.I poli di queste sono i punti A ed E. Nei triangoli AFG e ECD la rottura avviene su segmenti inclinati di ± (45°+ φ/2 ) rispetto alla verticale.Individuato così il volume di terreno portato a rottura dal carico limite, questo può essere calcolato scrivendo la condizione di equilibrio fra le forze agenti su qualsiasi volume di terreno delimitato in basso da una qualunque delle superfici di scorrimento.

Meccanismo di rottura di Prandtl

Si arriva quindi ad una equazione q =b·c, dove il coefficiente B dipende soltanto dall’angolo di attrito φ del terreno.

b=cotgφ·[e^(π·tanφ)·tan^(2)(45+φ/2)-1]

Per φ =0 il coefficiente risulta pari a 5.14, quindi q=5.14 · c.

Nell’altro caso particolare di terreno privo di coesione (c=0, φ≠0) risulta q=0, secondo la teoria di Prandtl, non sarebbe dunque possibile applicare nessun carico sulla superficie limite di un terreno incoerente.

Da questa teoria, anche se non applicabile praticamente, hanno preso le mosse tutte le ricerche ed i metodi di calcolo successivi.

Infatti Caquot si pose nelle stesse condizioni di Prandtl ad eccezione del fatto che la striscia di carico non è più applicata sulla superficie limite del semispazio, ma a una profondità h, con h ≤ 2b; il terreno compreso tra la superficie e la profondità h ha le seguenti caratteristiche: γ≠0, φ=0, c=0 e cioè sia un mezzo dotato di peso ma privo di resistenza.

Risolvendo le equazioni di equilibrio si arriva all’espressione:

q=A·γ1+b·c

che è sicuramente  un passo avanti rispetto a Prandtl, ma che ancora non rispecchia la realtà.

Terzaghi (1955), proseguendo lo studio di Caquot, ha apportato alcune modifiche per tenere conto delle effettive caratteristiche dell’insieme opera di fondazione-terreno.Sotto l’azione del carico trasmesso dalla fondazione il terreno che si trova a contatto con la fondazione stessa tende a sfuggire lateralmente, ma ne è impedito dalle resistenze tangenziali che si sviluppano fra la fondazione ed il terreno. Ciò comporta una modifica dello stato tensionale nel terreno posto direttamente al di sotto della fondazione; per tenerne conto Terzaghi assegna ai lati AB ed EB del cuneo di Prandtl una inclinazione ψ  rispetto all’orizzontale, scegliendo il valore di ψ in funzione delle caratteristiche meccaniche del terreno al contatto terreno-opera di fondazione.

L’ipotesi γ2 =0 per il terreno sotto la fondazione viene così superata ammettendo che le superfici di rottura restino inalterate, l’espressione del carico limite è quindi:

q=A·γ·h+b·c+C·γ·b

in cui C è un coefficiente che risulta funzione dell’angolo di attrito φ del terreno posto al di sotto del piano di posa e dell’angolo φ prima definito; b è la semilarghezza della striscia.Inoltre, basandosi su dati sperimentali, Terzaghipassa dal problema piano al problema spaziale introducendo dei fattori di forma. Un ulteriore contributo è stato apportato da Terzaghisull’ effettivo  comportamento del terreno. Nel metodo di Prandtl si ipotizza un comportamento del terreno rigido-plastico, Terzaghiinvece ammette questo comportamento nei terreni molto compatti.

In essi, infatti, la curva carichi-cedimenti presenta un primo tratto rettilineo, seguito da un breve tratto curvilineo (comportamento elasto-plastico); la rottura è istantanea ed il valore del carico limite risulta chiaramente individuato (rottura generale).

In un terreno molto sciolto invece la relazione carichi-cedimenti presenta un tratto curvilineo accentuato fin dai carichi più bassi per effetto di una rottura progressiva del terreno (rottura locale); di conseguenza l’individuazione del carico limite non è così chiara ed evidente come nel caso dei terreni compatti.

Per i terreni molto sciolti, Terzaghi consiglia di prendere in considerazione il carico limite il valore che si calcola con la formula precedente introducendo però dei valori ridotti delle caratteristiche meccaniche del terreno e precisamente:

tanφrid=(2/3)·tanφ e crid=(2/3)·c

La formula di Terzaghi esplicitata è riportata in Figura.

Meyerhof (1963) propose una formula per il calcolo del carico limite simile a quella di Terzaghi, le differenze consistono nell’introduzione di ulteriori coefficienti di forma.
Egli introdusse un coefficiente sγ che moltiplica il fattore Nγ, fattori di profondità di e di pendenza ii  per il caso in cui il carico trasmesso alla fondazione è inclinato sulla verticale.
I valori dei coefficienti N furono ottenuti da Meyerhof ipotizzando vari archi di prova  BF  (v. meccanismo Prandtl), mentre il taglio lungo i piani AF aveva dei valori approssimati.
I fattori di forma tratti da Meyerhof sono  riportati in Tabella.

La formula proposta da Hansen (1970) è un’ ulteriore estensione della formula di Meyerhof; le estensioni consistono nell’introduzione di bi che tiene conto della eventuale inclinazione sull’orizzontale del piano di posa  e un fattore gi per terreno in pendenza.
La formula di Hansen vale per qualsiasi rapporto D/B, quindi sia per fondazioni superficiali che profonde, ma lo stesso autore introdusse dei coefficienti per meglio interpretare il comportamento reale della fondazione, senza di essi, infatti, si avrebbe un aumento troppo forte del carico limite con la profondità.

La formula di Vesic (1975) è analoga alla formula di Hansen (1970), con la differenza che i fattori di capacità portante Nq ed Nc sono quelli proposti da Meyerhof mentre l’espressione di Nγ è:

Nγ=2·(Nq+1)·tanφ

I fattori di forma e di profondità che compaiono nelle formule del calcolo della capacità portante sono riportate nella stessa tabella con quelli proposti da  Hansen.

Shape and depth factors for use in either the Hansen (1970) 
or Vesic (1975) bearing-capacity equations.
Table of inclination, ground, and base factors for the Hansen (1970) equations
Table of inclination, ground, and base factors for the Vesic (1975) equations

La formulazione proposta dall’EC7-EC8 è quella di Brich-Hansen “Affinché una fondazione possa resistere il carico di progetto con sicurezza nei riguardi della rottura generale, per tutte le combinazioni di carico relative allo SLU (stato limite ultimo), deve essere soddisfatta la seguente disuguaglianza:

Vd≤ Rd

Dove Vd è il carico di progetto allo SLU, normale alla base della fondazione, comprendente anche il peso della fondazione stessa; mentre Rd è il carico limite di progetto della fondazione nei confronti di carichi normali , tenendo conto anche dell’effetto di carichi inclinati o eccentrici. Nella valutazione analitica del carico limite di progetto Rd si devono considerare le situazioni a breve e a lungo termine nei terreni a grana fine.”

Il carico limite di progetto in condizioni non drenate si calcola come:

R/A’=(2+π)·cu·sc·ic+q

Dove:

A’ = B’·L’   area della fondazione efficace di progetto, intesa, in caso di carico eccentrico, come l’area ridotta al cui centro viene applicata la risultante del carico.

cu Coesione non drenata
q  pressione litostatica totale sul piano di posa
sc  Fattore di forma
sc 1 + 0,2 (B’/L’) Per fondazioni rettangolari
sc 1,2 Per fondazioni quadrate o circolari.
ic  Fattore correttivo per l’inclinazione del carico dovuta ad un carico H.

ic=0.5·[1+(1-H/(A’·cu)^0.5]

Per le condizioni drenate il carico limite di progetto è calcolato come segue.

R/A’ = c’ ·Nc ·sc ·ic + q’· Nq ·sq ·iq + 0,5· g’ ·B’ ·Ng ·sg ·ig

Dove:

Nc= come per Meyerhof (1963)
Nq= come per Meyerhof (1963)
Nγ=2·(Nq-1)·tanϕ

Fattori di forma
sq = 1+(B’/L’) ·sinϕ’ per fondazione rettangolare
sq = 1+sinϕ’ per fondazione quadrata o circolare
sγ =1-0.3·(B’/L’) per forma rettangolare
sγ =0.7 per forma quadrata o circolare
sc= (sq ·Nq-1)/(Nq-1) per forma rettangolare, quadrata o circolare

Oltre ai fattori correttivi di cui sopra sono considerati quelli complementari della profondità del piano di posa e dell’inclinazione del piano di posa e del piano campagna (Hansen).

VERIFICA A SLITTAMENTO
In conformità con i criteri di progetto allo SLU, la stabilità di un plinto di fondazione deve essere verificata rispetto al collasso per slittamento oltre a quello per rottura generale. Rispetto al collasso per slittamento la resistenza viene valutata come somma di una componente dovuta all’adesione e una dovuta all’attrito fondazione-terreno; la resistenza laterale derivante dalla spinta passiva del terreno può essere messa in conto secondo una percentuale indicata dell’utente.
La resistenza di calcolo per attrito ed adesione è valutata secondo l’espressione:

FRd = Nsd ·tand+ca ·A’

Nella quale Nsd è il valore di calcolo della forza verticale, d è l’angolo di resistenza a taglio alla base del plinto, ca è l’adesione plinto-terreno e A’ è l’area della fondazione efficace, intesa, in caso di carichi eccentrici, come area ridotta al centro della quale è applicata la risultante.

CARICO LIMITE DI FONDAZIONI SU ROCCIA

Per la valutazione della capacità portante ammissibile delle rocce si deve tener conto di di alcuni parametri significativi quali le caratteristiche geologiche, il tipo di roccia e la sua qualità, misurata con l’RQD. Nella capacità portante delle rocce si utilizzano normalmente fattori di sicurezza molto alti e legati in qualche modo al valore del coefficiente RQD: ad esempio, per una roccia con RQD pari al massimo a 0.75 il fattore di sicurezza varia tra 6 e 10. Per la determinazione della capacità portante di una roccia si possono usare le formule di Terzaghi, usando angolo d’attrito e coesione della roccia, o quelle proposte da Stagg e Zienkiewicz (1968) in cui i coefficienti della formula della capacità portante valgono:

Nq=tan^6(45+φ/2)
Nc=5·tan^4(45+φ/2)
Nγ=Nq+1

Con tali coefficienti vanno usati i fattori di forma impiegati nella formula di Terzaghi.
La capacità portante ultima calcolata è comunque funzione del coefficiente RQD secondo la seguente espressione:

q’=qult(RQD)^2

Se il carotaggio in roccia non fornisce pezzi intatti (RQD tende a 0), la roccia viene trattata come un terreno stimando al meglio i parametri c e φ.

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